Das Achtzell

Das Achtzell, auch Hyperkubus oder Tesserakt genannt, ist die vierdimensionale Entsprechung zu einem Würfel, d.h. es verhält sich zum Würfel, wie dieser zum Quadrat. Es geht aus dem Würfel hervor, indem dieser längs einer Achse gestreckt wird, die senkrecht auf unserem dreidimensionalen Raum steht.

Erscheinungen des Würfels in der Ebene

Um die Projektionen des Achtzells in den 3-dimensionalen Raum besser zu verstehen, werden zunächst die Projektionen des Würfels in den 2-dimensionalen Raum, d.h. auf die Ebene betrachtet.


	Punktprojektion	Parallelprojektion	Entfaltung (Netz)
Winkeltreue	–	–	•
Parallelität	–	•	•
Längentreue	–	•	•
Durchdringung	•	–	•
Anzahl	•	•	–

Die Punktprojektion entspricht dem Schatten eines aus Draht gebildeten Würfels, wenn sich die Lichtquelle dicht über dem Würfel befindet. Die sechs Quadrate durchdringen sich nicht und sind gut erkennbar (das äußere, umgebende Quadrat ist das sechste), doch weder Winkel, noch Längen, noch Parallelität der Kanten werden korrekt wiedergegeben.
Die Parallelprojektion nimmt eine unendlich entfernte Lichtquelle an. Parallele Kanten bleiben parallel, auch Längen und Anzahl der Bestandteile werden korrekt wiedergegeben, doch durchdringen sich die Seitenflächen und Kanten, und einige der Winkel sind verzerrt.
Die Entfaltung ist keine Projektion, sondern der Würfel wird aufgetrennt und auf der Ebene ausgebreitet. Die geometrischen Verhältnisse werden korrekt wiedergegeben, doch kommen einige Punkte und Kanten nun doppelt oder gar dreifach vor.

Parallelprojektion des Achtzells

Das Achtzell entsteht durch vierfache Parallelverschiebung, beginnend mit einem Punkt (Dimension n = 0) in jeweils orthogonale Richtungen, Mit jeder Verschiebung verdoppelt sich die Anzahl der Ecken. Die folgende Zeichung veranschaulicht den Vorgang. Die Anzahl d-dimensionaler Bestandteile des n-dimensionalen Objekts kann durch Abzählen abgelesen werden:

n = 0 : Punkt, keine Ausdehnung
n = 1 : Strecke, enthält 2 Punkte (d = 0)
n = 2 : Quadrat, enthält 4 Punkte (d = 0) und 4 Kanten (d = 1)
n = 3 : Würfel, enthält 8 Punkte (d = 0), 12 Kanten (d = 1) und 6 Quadrate (d = 2)
n = 4 : Achtzell, bestehend aus dem Basiswürfel, dem parallel verschobenen Würfel und den 6 durch Streckung der Seitenflächen des Basiswürfels entstandendenen »Seitenwürfeln«. Es enthält 16 Ecken (d = 0), 32 Kanten (d = 1), 24 Quadrate (d = 2) und 8 Würfel (d = 3) – deshalb »Acht-zell«!

Punktprojektion des Achtzells

In dieser Darstellung lassen sich trotz Verzerrung die Bestandteile besonders leicht identifizieren und abzählen: Der große Außenwürfel und der kleine Innenwürfel sind durch 6 Pyramidenstümpfe, nämlich die 6 verzerrten Seitenwürfel verbunden.

Allgemein gilt für die Anzahl N der d-dimensionalen Kuben, die einen n-dimensionalen Kubus begrenzen folgende Formel:

N ( n, d ) = bin( n, d ) · 2^n-d (Beweis)

Anmerkung:
bin( n, d ) = n!/[d!·(n-d)!] bezeichnet hier den Binominalkoeffizienten »n über d«.
n! = 1·2·...·(n-1)·n ist die Fakultät von n.
Es gilt 0! = 1 und (-1)! = .

(nach: Hilbert u. Cohn-Vossen, Anschauliche Geometrie)

Entfaltung des Achtzells

Dalís Gemälde zeigt die 8 Würfel des Achtzells entfaltet. Freilich kommen nun einige der Quadrate doppelt, Kanten dreifach und Punkte sogar vierfach vor.

Für weitere Studien am Achtzell und andere Hyperkörper ist der Polytope Viewer von Michael Gibbs sehr zu empfehlen. Es ist ein C++ DOS-Programms zur stereoskopischen Visualisierung (mittels rot/blau-Brille oder durch gekonntes Schielen) von Parallelprojektionen und Schnitten vierdimensionaler Objekte im dreidimensionalen Raum.

Salvador Dalí: Crucifixion

Weiterführende Literatur und Links

D. Hilbert u. S. Cohn-Vossen, Anschauliche Geometrie, Wissenschaftliche Buchgesellschaft, Darmstadt 1973
H. de Vries, Die vierte Dimension, Teubner, Leipzig und Berlin 1926
C. H. Hinton, A new era of thought, Swan Sonnenschein & Co, London 1888
M. Gardner, »Hyperkubus«, in: Mathematischer Karneval, Ullstein, Frankfurt und Berlin, 1977
R. Rucker, Die Wunderwelt der vierten Dimension, Scherz, Bern, München und Wien, 1987
A collection of hyper-dimensional links

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